3.4.66 \(\int \frac {1}{x^2 (-a+b x)^{5/2}} \, dx\) [366]

Optimal. Leaf size=81 \[ -\frac {5 b}{3 a^2 (-a+b x)^{3/2}}+\frac {1}{a x (-a+b x)^{3/2}}+\frac {5 b}{a^3 \sqrt {-a+b x}}+\frac {5 b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {-a+b x}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{7/2}} \]

[Out]

-5/3*b/a^2/(b*x-a)^(3/2)+1/a/x/(b*x-a)^(3/2)+5*b*arctan((b*x-a)^(1/2)/a^(1/2))/a^(7/2)+5*b/a^3/(b*x-a)^(1/2)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]
time = 0.02, antiderivative size = 81, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 5, number of rules used = 4, integrand size = 15, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.267, Rules used = {44, 53, 65, 211} \begin {gather*} \frac {5 b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {b x-a}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{7/2}}+\frac {5 b}{a^3 \sqrt {b x-a}}-\frac {5 b}{3 a^2 (b x-a)^{3/2}}+\frac {1}{a x (b x-a)^{3/2}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[1/(x^2*(-a + b*x)^(5/2)),x]

[Out]

(-5*b)/(3*a^2*(-a + b*x)^(3/2)) + 1/(a*x*(-a + b*x)^(3/2)) + (5*b)/(a^3*Sqrt[-a + b*x]) + (5*b*ArcTan[Sqrt[-a
+ b*x]/Sqrt[a]])/a^(7/2)

Rule 44

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n + 1
)/((b*c - a*d)*(m + 1))), x] - Dist[d*((m + n + 2)/((b*c - a*d)*(m + 1))), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && ILtQ[m, -1] &&  !IntegerQ[n] && LtQ[n, 0]

Rule 53

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)*((c + d*x)^(n + 1
)/((b*c - a*d)*(m + 1))), x] - Dist[d*((m + n + 2)/((b*c - a*d)*(m + 1))), Int[(a + b*x)^(m + 1)*(c + d*x)^n,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(LtQ[n, -1] && (EqQ[a, 0] || (NeQ[
c, 0] && LtQ[m - n, 0] && IntegerQ[n]))) && IntLinearQ[a, b, c, d, m, n, x]

Rule 65

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - a*(d/b) + d*(x^p/b))^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 211

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[a/b, 2]/a)*ArcTan[x/Rt[a/b, 2]], x] /; FreeQ[{a, b}, x]
&& PosQ[a/b]

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {1}{x^2 (-a+b x)^{5/2}} \, dx &=-\frac {2}{3 a x (-a+b x)^{3/2}}-\frac {5 \int \frac {1}{x^2 (-a+b x)^{3/2}} \, dx}{3 a}\\ &=-\frac {2}{3 a x (-a+b x)^{3/2}}+\frac {10}{3 a^2 x \sqrt {-a+b x}}+\frac {5 \int \frac {1}{x^2 \sqrt {-a+b x}} \, dx}{a^2}\\ &=-\frac {2}{3 a x (-a+b x)^{3/2}}+\frac {10}{3 a^2 x \sqrt {-a+b x}}+\frac {5 \sqrt {-a+b x}}{a^3 x}+\frac {(5 b) \int \frac {1}{x \sqrt {-a+b x}} \, dx}{2 a^3}\\ &=-\frac {2}{3 a x (-a+b x)^{3/2}}+\frac {10}{3 a^2 x \sqrt {-a+b x}}+\frac {5 \sqrt {-a+b x}}{a^3 x}+\frac {5 \text {Subst}\left (\int \frac {1}{\frac {a}{b}+\frac {x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt {-a+b x}\right )}{a^3}\\ &=-\frac {2}{3 a x (-a+b x)^{3/2}}+\frac {10}{3 a^2 x \sqrt {-a+b x}}+\frac {5 \sqrt {-a+b x}}{a^3 x}+\frac {5 b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {-a+b x}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{7/2}}\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]
time = 0.08, size = 67, normalized size = 0.83 \begin {gather*} \frac {3 a^2-20 a b x+15 b^2 x^2}{3 a^3 x (-a+b x)^{3/2}}+\frac {5 b \tan ^{-1}\left (\frac {\sqrt {-a+b x}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{7/2}} \end {gather*}

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[1/(x^2*(-a + b*x)^(5/2)),x]

[Out]

(3*a^2 - 20*a*b*x + 15*b^2*x^2)/(3*a^3*x*(-a + b*x)^(3/2)) + (5*b*ArcTan[Sqrt[-a + b*x]/Sqrt[a]])/a^(7/2)

________________________________________________________________________________________

Mathics [C] Result contains higher order function than in optimal. Order 9 vs. order 3 in optimal.
time = 12.20, size = 1219, normalized size = 15.05

result too large to display

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

mathics('Integrate[1/(x^2*(-a + b*x)^(5/2)),x]')

[Out]

Piecewise[{{(6 a ^ 4 Sqrt[(-a + b x) / a] + a ^ 3 b x (-46 Sqrt[(-a + b x) / a] - 30 ArcSin[Sqrt[a] / (Sqrt[b]
Sqrt[x])] - 15 I Log[b x / a] + 30 I Log[Sqrt[b] Sqrt[x] / Sqrt[a]]) + 5 a ^ 2 b ^ 2 x ^ 2 (-18 I Log[Sqrt[b]
Sqrt[x] / Sqrt[a]] + 9 I Log[b x / a] + 14 Sqrt[(-a + b x) / a] + 18 ArcSin[Sqrt[a] / (Sqrt[b] Sqrt[x])]) + 1
5 a b ^ 3 x ^ 3 (-6 ArcSin[Sqrt[a] / (Sqrt[b] Sqrt[x])] - 2 Sqrt[(-a + b x) / a] - 3 I Log[b x / a] + 6 I Log[
Sqrt[b] Sqrt[x] / Sqrt[a]]) + 15 b ^ 4 x ^ 4 (-2 I Log[Sqrt[b] Sqrt[x] / Sqrt[a]] + I Log[b x / a] + 2 ArcSin[
Sqrt[a] / (Sqrt[b] Sqrt[x])])) / (6 a ^ (7 / 2) x (a ^ 3 - 3 a ^ 2 b x + 3 a b ^ 2 x ^ 2 - b ^ 3 x ^ 3)), Abs[
b x / a] > 1}}, -6 I a ^ 17 Sqrt[1 - b x / a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2)
b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) - 30 I a ^ 16 b x Log[1 + Sqrt[1 - b x / a]] / (-6 a ^ (39 / 2) x +
18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) + I 15 a ^ 16 b x Log[b x
/ a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^
4) + I 46 a ^ 16 b x Sqrt[1 - b x / a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2
x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) + 15 Pi a ^ 16 b x / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^
(35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) - 70 I a ^ 15 b ^ 2 x ^ 2 Sqrt[1 - b x / a] / (-6 a ^ (39
/ 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) - 45 I a ^ 15 b ^
2 x ^ 2 Log[b x / a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33
/ 2) b ^ 3 x ^ 4) + I 90 a ^ 15 b ^ 2 x ^ 2 Log[1 + Sqrt[1 - b x / a]] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2)
b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) - 45 Pi a ^ 15 b ^ 2 x ^ 2 / (-6 a ^ (39
/ 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) - 90 I a ^ 14 b ^
3 x ^ 3 Log[1 + Sqrt[1 - b x / a]] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^
3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) + I 30 a ^ 14 b ^ 3 x ^ 3 Sqrt[1 - b x / a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37
/ 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) + I 45 a ^ 14 b ^ 3 x ^ 3 Log[b x /
a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4)
+ 45 Pi a ^ 14 b ^ 3 x ^ 3 / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a
^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) - 15 I a ^ 13 b ^ 4 x ^ 4 Log[b x / a] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2
- 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4) + I 30 a ^ 13 b ^ 4 x ^ 4 Log[1 + Sqrt[1 - b x / a
]] / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a ^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4)
- 15 Pi a ^ 13 b ^ 4 x ^ 4 / (-6 a ^ (39 / 2) x + 18 a ^ (37 / 2) b x ^ 2 - 18 a ^ (35 / 2) b ^ 2 x ^ 3 + 6 a
^ (33 / 2) b ^ 3 x ^ 4)]

________________________________________________________________________________________

Maple [A]
time = 0.13, size = 74, normalized size = 0.91

method	result	size
derivativedivides	\(2 b \left (\frac {\frac {\sqrt {b x -a}}{2 b x}+\frac {5 \arctan \left (\frac {\sqrt {b x -a}}{\sqrt {a}}\right )}{2 \sqrt {a}}}{a^{3}}-\frac {1}{3 a^{2} \left (b x -a \right )^{\frac {3}{2}}}+\frac {2}{a^{3} \sqrt {b x -a}}\right )\)	\(74\)
default	\(2 b \left (\frac {\frac {\sqrt {b x -a}}{2 b x}+\frac {5 \arctan \left (\frac {\sqrt {b x -a}}{\sqrt {a}}\right )}{2 \sqrt {a}}}{a^{3}}-\frac {1}{3 a^{2} \left (b x -a \right )^{\frac {3}{2}}}+\frac {2}{a^{3} \sqrt {b x -a}}\right )\)	\(74\)
risch	\(-\frac {-b x +a}{a^{3} x \sqrt {b x -a}}+\frac {5 b \arctan \left (\frac {\sqrt {b x -a}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{\frac {7}{2}}}+\frac {4 b}{a^{3} \sqrt {b x -a}}-\frac {2 b}{3 a^{2} \left (b x -a \right )^{\frac {3}{2}}}\)	\(75\)

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/x^2/(b*x-a)^(5/2),x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

2*b*(1/a^3*(1/2*(b*x-a)^(1/2)/b/x+5/2*arctan((b*x-a)^(1/2)/a^(1/2))/a^(1/2))-1/3/a^2/(b*x-a)^(3/2)+2/a^3/(b*x-
a)^(1/2))

________________________________________________________________________________________

Maxima [A]
time = 0.36, size = 82, normalized size = 1.01 \begin {gather*} \frac {15 \, {\left (b x - a\right )}^{2} b + 10 \, {\left (b x - a\right )} a b - 2 \, a^{2} b}{3 \, {\left ({\left (b x - a\right )}^{\frac {5}{2}} a^{3} + {\left (b x - a\right )}^{\frac {3}{2}} a^{4}\right )}} + \frac {5 \, b \arctan \left (\frac {\sqrt {b x - a}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{\frac {7}{2}}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/x^2/(b*x-a)^(5/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

1/3*(15*(b*x - a)^2*b + 10*(b*x - a)*a*b - 2*a^2*b)/((b*x - a)^(5/2)*a^3 + (b*x - a)^(3/2)*a^4) + 5*b*arctan(s
qrt(b*x - a)/sqrt(a))/a^(7/2)

________________________________________________________________________________________

Fricas [A]
time = 0.32, size = 226, normalized size = 2.79 \begin {gather*} \left [-\frac {15 \, {\left (b^{3} x^{3} - 2 \, a b^{2} x^{2} + a^{2} b x\right )} \sqrt {-a} \log \left (\frac {b x - 2 \, \sqrt {b x - a} \sqrt {-a} - 2 \, a}{x}\right ) - 2 \, {\left (15 \, a b^{2} x^{2} - 20 \, a^{2} b x + 3 \, a^{3}\right )} \sqrt {b x - a}}{6 \, {\left (a^{4} b^{2} x^{3} - 2 \, a^{5} b x^{2} + a^{6} x\right )}}, \frac {15 \, {\left (b^{3} x^{3} - 2 \, a b^{2} x^{2} + a^{2} b x\right )} \sqrt {a} \arctan \left (\frac {\sqrt {b x - a}}{\sqrt {a}}\right ) + {\left (15 \, a b^{2} x^{2} - 20 \, a^{2} b x + 3 \, a^{3}\right )} \sqrt {b x - a}}{3 \, {\left (a^{4} b^{2} x^{3} - 2 \, a^{5} b x^{2} + a^{6} x\right )}}\right ] \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/x^2/(b*x-a)^(5/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/6*(15*(b^3*x^3 - 2*a*b^2*x^2 + a^2*b*x)*sqrt(-a)*log((b*x - 2*sqrt(b*x - a)*sqrt(-a) - 2*a)/x) - 2*(15*a*b
^2*x^2 - 20*a^2*b*x + 3*a^3)*sqrt(b*x - a))/(a^4*b^2*x^3 - 2*a^5*b*x^2 + a^6*x), 1/3*(15*(b^3*x^3 - 2*a*b^2*x^
2 + a^2*b*x)*sqrt(a)*arctan(sqrt(b*x - a)/sqrt(a)) + (15*a*b^2*x^2 - 20*a^2*b*x + 3*a^3)*sqrt(b*x - a))/(a^4*b
^2*x^3 - 2*a^5*b*x^2 + a^6*x)]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F(-1)]
time = 0.00, size = 0, normalized size = 0.00 \begin {gather*} \text {Timed out} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/x**2/(b*x-a)**(5/2),x)

[Out]

Timed out

________________________________________________________________________________________

Giac [A]
time = 0.00, size = 101, normalized size = 1.25 \begin {gather*} 2 \left (\frac {\sqrt {-a+b x} b}{2 a^{3} \left (-a+b x+a\right )}+\frac {6 \left (-a+b x\right ) b-b a}{3 a^{3} \sqrt {-a+b x} \left (-a+b x\right )}+\frac {5 b \arctan \left (\frac {\sqrt {-a+b x}}{\sqrt {a}}\right )}{2 a^{3} \sqrt {a}}\right ) \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(1/x^2/(b*x-a)^(5/2),x)

[Out]

5*b*arctan(sqrt(b*x - a)/sqrt(a))/a^(7/2) + 2/3*(6*(b*x - a)*b - a*b)/((b*x - a)^(3/2)*a^3) + sqrt(b*x - a)/(a
^3*x)

________________________________________________________________________________________

Mupad [B]
time = 0.12, size = 70, normalized size = 0.86 \begin {gather*} \frac {1}{a\,x\,{\left (b\,x-a\right )}^{3/2}}-\frac {20\,b}{3\,a^2\,{\left (b\,x-a\right )}^{3/2}}+\frac {5\,b\,\mathrm {atan}\left (\frac {\sqrt {b\,x-a}}{\sqrt {a}}\right )}{a^{7/2}}+\frac {5\,b^2\,x}{a^3\,{\left (b\,x-a\right )}^{3/2}} \end {gather*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(1/(x^2*(b*x - a)^(5/2)),x)

[Out]

1/(a*x*(b*x - a)^(3/2)) - (20*b)/(3*a^2*(b*x - a)^(3/2)) + (5*b*atan((b*x - a)^(1/2)/a^(1/2)))/a^(7/2) + (5*b^
2*x)/(a^3*(b*x - a)^(3/2))

________________________________________________________________________________________